题目内容
【题目】已知椭圆(
),以椭圆内一点
为中点作弦
,设线段
的中垂线与椭圆相交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得
,
,
,
在同一个圆上,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在这样的
,使得
,
,
,
在同一个圆上.
【解析】【试题分析】(1)借助递椭圆离心率的定义分析求解;(2)依据题设条件先建立直线的方程,再与椭圆方程联立,借助交点坐标之间的关系分析求解:
(Ⅰ)将椭圆方程化成标准方程,
.
(Ⅱ)由题意,设,
,
,
,直线
的斜率存在,设
为
,联立
,
得
.
,
,此时由
,得
,
则:
,
:
.
则得
,
,故
的中点
为
.
由弦长公式可得到
.
,若存在圆,则圆心在
上,
的中点
到直线
的距离为
.
,
又
存在这样的,使得
,
,
,
在同一个圆上.
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