题目内容

【题目】如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,,点F为PB中点,点E在边BC上移动.

(Ⅰ)求证:PD∥平面AFC;

(Ⅱ)若,求证:

(Ⅲ)若二面角的大小为60°,则CE为何值时,三棱锥的体积为

【答案】(Ⅰ)见解析;()见解析;(.

【解析】

(Ⅰ)连接,设,底面是矩形,可知的中点,利用中位线的性质、直线与平面平行的判定定理,可证出PD∥平面AFC;

(Ⅱ)由,点F为PB中点,可知, 由PA⊥平面,可得,由四边形是矩形,可知,这样可以得到平面,因此可证出,这样可以证出平面,这样就可以证明出;

(Ⅲ)建立空间直角坐标系,通过若二面角的大小为60°,可以求出点的坐标,由三棱锥的体积为,可以求出CE的长.

(Ⅰ)连接,设,如下图所示:

四边形ABCD是矩形,所以的中点, F为PB中点,所以有,

平面,平面,由直线与平面平行的判定定理可知: PD∥平面AFC;

(Ⅱ)由,所以是等腰三角形,点F为PB中点,所以有, 因为PA⊥平面,而平面,于是有,

因为四边形是矩形,所以,又平面, 平面,平面,所以,而 ,

所以平面,而平面,所以 ;

(Ⅲ)建立如上图所示的空间直角坐标系,

,,

设平面的法向量为,则有

,而PA⊥平面,所以是平面的法向量,所以有

,设

三棱锥的体积为解得

所以当时,三棱锥的体积为

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