题目内容
【题目】在数列中,.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为,并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.
(1)试写出数列的一个项子列,并使其为等差数列;
(2)如果为数列的一个项子列,且为等差数列,证明:的公差满足;
(3)如果为数列的一个项子列,且为等比数列,证明:
.
【答案】(1)答案不唯一.如项子列,,;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
试题(1)根据题中的定义写出一个项子列即可;(2)对是否等于进行分类讨论,结合条件“为等差数列”,利用公差推出矛盾,从而得到,再由结合证明;
(3)注意到数列各项均为有理数,从而得到数列的公比为正有理数,从而存在、使得,并对是否等于进行分类讨论,结合等比数列求和公式进行证明.
试题解析:(1)答案不唯一.如项子列、、;
(2)由题意,知,
所以.
若,
由为的一个项子列,得,
所以.
因为,,
所以,即.
这与矛盾.
所以.
所以,
因为,,
所以,即,
综上,得;
(3)由题意,设的公比为,
则.
因为为的一个项子列,
所以为正有理数,且,.
设,且、互质,).
当时,
因为,
所以
,
,
所以.
当时,
因为是中的项,且、互质,
所以,
所以
.
因为,、,
所以.
综上,.
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