Question

15．（1）求证$\sqrt{11-2\sqrt{30}}＞\sqrt{15-4\sqrt{14}}$
（2）已知a，b，c∈R，求证a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

Answer 1

分析 （1）分析使不等式$\sqrt{11-2\sqrt{30}}＞\sqrt{15-4\sqrt{14}}$成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．
（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．

解答 证明：（1）要证明$\sqrt{11-2\sqrt{30}}＞\sqrt{15-4\sqrt{14}}$，
只要证$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$＞2$\sqrt{2}$-$\sqrt{7}$即可．
只要证$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
即证2$\sqrt{42}$＞4$\sqrt{10}$，
即证42＞40．显然成立，故要证的不等式成立．
（2）a²+b²+c²=$\frac{1}{2}$（a²+b²+c²+a²+b²+c²）$≥\frac{1}{2}$（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．

点评 本题主要考查利用分析法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法．利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．