Question

7．定义在R上的函数y=f（x），对任意不等的实数x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，又函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，若不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，则当1≤x≤4时，$\frac{y}{x}$的取值范围是（-1，1]．

Answer 1

分析 根据条件可知f（x）在R上为减函数且为奇函数，从而可由原不等式得f（x²-2x）≤f（y²-2y），进一步得到x²-2x≥y²-2y，可设$\frac{y}{x}=t$，从而有y=tx，带入上面不等式便可以得到（1-t²）x≥2（1-t），讨论t：显然可看出t=1时不等式成立，t=-1时不成立，然后讨论-1＜t＜1和t＞1或t＜-1，这样便可把1-t²除到不等式的右边，根据x的范围便可得出关于t的不等式，解不等式即可得出t的范围，所有t的范围求并集便可得出$\frac{y}{x}$的取值范围．

解答 解：由[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0得，f（x）在R上为减函数；
f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；
∴f（x）的图象关于（0，0）对称；
∴f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）；
∴由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0得，f（x²-2x）≤f（y²-2y）；
∴x²-2x≥y²-2y；
设$\frac{y}{x}=t$，y=xt；
∴x²-2x≥t²x²-2tx，1≤x≤4；
∴x-2≥t²x-2t；
∴（1-t²）x≥2（1-t）；
①t=1时，上面不等式成立；
②-1＜t＜1时，1-t²＞0，∴$x≥\frac{2}{1+t}$；
∴$1≥\frac{2}{1+t}$；
∴t≥-1；
∴-1＜t＜1；
③t=-1时，0≥4显然不成立；
④t＞1，或t＜-1时，1-t²＜0，∴$x≤\frac{2}{1+t}$；
∴$4≤\frac{2}{1+t}$；
∴$-1＜t≤-\frac{1}{2}$；
∴这种情况不存在；
∴综上得-1＜t≤1，即$-1＜\frac{y}{x}≤1$；
∴$\frac{y}{x}$的范围为（-1，1]．
故答案为：（-1，1]．

点评 考查减函数的定义，图象沿x轴的平移变换，奇函数图象的对称性，奇函数的定义，而设$\frac{y}{x}=t$是求解本题的关键．