Question

20．设函数f（x）=x²-1，对任意x∈[3，+∞），f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 由f（x）=x²-1，结合f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，可得$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}$≤-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$在[3，+∞）上恒成立，求出-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$在[3，+∞）上的最小值，由$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}$小于等于该最小值求得实数m的取值范围．

解答 解：由题意，对任意x∈[3，+∞），f（$\frac{x}{m}$）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，
即$（\frac{x}{m}）^{2}$-1-4m²•（x²-1）≤（x-1）²-1+4m²-4恒成立，
∴$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}$≤-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$在[3，+∞）上恒成立．
∵-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$=-3$（\frac{1}{x}+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}$，
∴当x=3时，-$\frac{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}+1$取得最小值0，
∴$\frac{1}{{m}^{2}}-4{m}^{2}≤0$，
解得：m$≤-\frac{\sqrt{2}}{2}$或m$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$（-∞，-\frac{\sqrt{2}}{2}]∪[\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞）$．

点评 本题考查恒成立问题，考查学生分析转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．