题目内容
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2$\sqrt{3}$的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2$\sqrt{6}$,M,N分别为PB,PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;
(2)若$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$,求直线AQ与平面AMN所成角的正弦值.
分析 (1)连接BD,由三角形中位线定理得MN∥BD,由此能证明MN∥平面ABCD.
(Ⅱ)以A为原点,在平面ABCD内作AD的垂线为x轴,以AD为y轴,以AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AQ与平面AMN所成角的正弦值.
解答 (1)证明:如图连接BD.
∵M,N分别为PB,PD的中点,
∴在△PBD中,MN∥BD.
又MN?平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(Ⅱ)如图,以A为原点,在平面ABCD内作AD的垂线为x轴,以AD为y轴,以AP为z轴,建立空间直角坐标系:
A(0,0,0),P(0,0,2$\sqrt{6}$),B(3,-$\sqrt{3}$,0),M($\frac{3}{2}$,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sqrt{6}$),
D(0,2$\sqrt{3}$,0),N(0,$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$),C(3,$\sqrt{3}$,0).
$\overrightarrow{PC}$=(3,$\sqrt{3}$,-2$\sqrt{6}$),
设Q(x,y,z),则$\overrightarrow{PQ}$=($x,y,z-2\sqrt{6}$),
∵$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$,∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{z-2\sqrt{6}=-\frac{4\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$,∴Q(2,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),∴$\overrightarrow{AQ}$=(2,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$),
设平面AMN法向量为$\overrightarrow{n}$=(a,b,c).
∵$\overrightarrow{AM}$=($\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{6}$),$\overrightarrow{AN}$=(0,$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=\frac{3}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}b+\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}b+\sqrt{6}c=0}\end{array}\right.$,取a=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=(3,$\sqrt{3}$,-$\frac{\sqrt{6}}{2}$),
设直线AQ与平面AMN所成角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{AQ}$,$\overrightarrow{n}$>|=|$\frac{\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AQ}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2+6-2}{\sqrt{8}•\sqrt{\frac{27}{2}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴直线AQ与平面AMN所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查线面平行的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
A. | -$\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | -$\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |