Question

10．已知△ABC中，cosB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，BC=3，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$，∠ADC=$\frac{π}{3}$．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图象求出BD的值，由两角差的正弦公式求出sin∠BAD，由正弦定理求出AD的值；
（2）过A做AE⊥BC，垂足为E，在RT△ADE中由正弦函数求出AE，再求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意画出图象：
由BC=3，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$得，BD=1，DC=2，
又cosB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，在△ABD中，sin∠BAD=sin（$\frac{π}{3}-B$）
=sin$\frac{π}{3}$cosB-cos$\frac{π}{3}$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}-\frac{1}{2}•\sqrt{1-（\frac{4\sqrt{3}}{7}）^{2}}$
=$\frac{12}{14}-\frac{1}{14}$=$\frac{11}{14}$，
由正弦定理得$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sinB}$，则$\frac{1}{\frac{11}{14}}=\frac{AD}{\frac{1}{7}}$，解得AD=$\frac{2}{11}$；
（2）过A做AE⊥BC，垂足为E，
在RT△ADE中，AE=ADsin$\frac{π}{3}$=$\frac{2}{11}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{11}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}•BC•AE$=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{11}$=$\frac{3\sqrt{3}}{22}$．

点评 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及两角差的正弦公式的应用，属于中档题．