Question

11．设平面向量$\overrightarrow m=（cosα，sinα）$（0≤α＜2π），$\overrightarrow n=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
（1）证明；$（\overrightarrow m+\overrightarrow n）⊥（\overrightarrow m-\overrightarrow n）$
（2）当$|{\sqrt{3}\overrightarrow m+\overrightarrow n}|=|{\overrightarrow m-\sqrt{3}\overrightarrow n}$|，求α．

Answer 1

分析 （1）根据向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的坐标即可求出$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）={\overrightarrow{m}}^{2}-{\overrightarrow{n}}^{2}=0$，从而便得到$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）⊥（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）$；
（2）对$|\sqrt{3}\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\sqrt{3}\overrightarrow{n}|$两边平方，从而可得到$-\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=0$，进一步得到$sin（α-\frac{π}{6}）=0$，根据α的范围求出$α-\frac{π}{6}$的范围，从而得到α的范围．

解答 解：（1）由条件：$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）={\overrightarrow{m}}^{2}-{\overrightarrow{n}}^{2}$=$（co{s}^{2}α+si{n}^{2}α）-（\frac{1}{4}+\frac{3}{4}）=0$；
∴$（\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）⊥（\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）$；
（2）对$|\sqrt{3}\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=|\overrightarrow{m}-\sqrt{3}\overrightarrow{n}|$两边平方得：
$3{\overrightarrow{m}}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+{\overrightarrow{n}}^{2}$=${\overrightarrow{m}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+3{\overrightarrow{n}}^{2}$；
∴$3+2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+1=1-2\sqrt{3}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+3$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$；
即$-\frac{1}{2}cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα=sin（α-\frac{π}{6}）=0$；
∵0≤α＜2π；
∴$-\frac{π}{6}≤α-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$；
∴$α-\frac{π}{6}=0，或π$；
∴$α=\frac{π}{6}$，或$\frac{7π}{6}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，以及两角差的正弦公式，注意α的范围．