Question

8．曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在点P（a，b）处的切线为L，若直线L与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的周长的最小值为4$+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用导数求出函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在点 P（a，b）处的切线方程，得到直线在两坐标轴上的截距，由勾股定理求得第三边，作和后利用基本不等式求最值．

解答 解：由y=$\frac{1}{x}$，得y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
则$y′{|}_{x=a}=-\frac{1}{{a}^{2}}$，
∴y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在点P（a，b）处的切线方程为：y-$\frac{1}{a}$=$-\frac{1}{{a}^{2}}（x-a）$．
整理得：x+a²y-2a=0．
取y=0，得：x=2a，取x=0，得y=$\frac{2}{a}$．
∴|AB|=$\sqrt{4{a}^{2}+\frac{4}{{a}^{2}}}$=2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$．
∴△OAB的周长为|2a|+|$\frac{2}{a}$|+2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$=2（$a+\frac{1}{a}$）+2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$（a＞0）
≥2×2a$•\frac{1}{a}$+2$\sqrt{2{a}^{2}•\frac{1}{{a}^{2}}}$=4+2$\sqrt{2}$．
当且仅当a=1时上式等号成立．
故答案为：$4+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．