Question

9．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为a，b．
（Ⅰ）求直线ax+by+5=0与圆x²+y²=1有公共点的概率；
（Ⅱ）求方程组$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$只有正数解的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线ax+by+5=0与圆x²+y²=1有公共点得：a²+b²≥25，统计满足条件的（a，b）的个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案；
（Ⅱ）求出方程组$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$的解，统计满足方程解为正的（a，b）的个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案；

解答 解：（Ⅰ）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．
因为直线ax+by+5=0与圆x²+y²=1有公共点，
所以有$\frac{5}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}≤1$，
即a²+b²≥25，
由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
∵满足条件a²+b²＜25的情况（a，b）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），共13种情况．
所以，直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1有公共点的概率是$P=1-\frac{13}{36}=\frac{23}{36}$---（6分）
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2b-6}{b-2a}\\ y=\frac{3-2a}{b-2a}\end{array}\right.$，
满足x＞0，且y＞0的情况（a，b）有：
（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），
（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2，共13种情况．
所以，方程组$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by=3}\\{x+2y=2}\end{array}}\right.$只有正数解的概率P=$\frac{13}{36}$．

点评 本题考查了古典概型的概率计算公式，难度不大，是基础题目．