Question

16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$）的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2$\sqrt{2}$，且过点（2，-$\frac{1}{2}$），则函数f（x）=f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2$\sqrt{2}$求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．

解答 解：由题意可得$\sqrt{{2}^{2}{+（\frac{π}{ω}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，∴ω=$\frac{π}{2}$，函数f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+φ）．
再把点（2，-$\frac{1}{2}$）代入函数的解析式可得sin（π+φ）=-sinφ=-$\frac{1}{2}$，
∴sinφ=$\frac{1}{2}$．
再由，-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
故答案为：f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{6}$）．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2$\sqrt{2}$求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于中档题．