Question

4．已知数列{$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$}．
（1）求这个数列的第10项；
（2）$\frac{98}{101}$是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令n=10即可得出；
（2）假设$\frac{98}{101}$=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$，化为9n²-303n+9=0，解得n即可判断出；
（3）化简a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=1-$\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}$，可得9n²-1＞9n-3＞0，因此$0＜\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}＜1$，即可证明；
（4）令f（x）=$\frac{9{x}^{2}-9x+2}{9{x}^{2}-1}$=1-$\frac{9x-3}{9{x}^{2}-1}$．（x≥1）．利用导数研究其单调性即可判断出．

解答 （1）解：a₁₀=$\frac{9×1{0}^{2}-9×10+2}{9×1{0}^{2}-1}$=$\frac{812}{899}$=$\frac{28}{31}$．
（2）解：假设$\frac{98}{101}$=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$，化为9n²-303n+9=0，解得n=$\frac{100}{3}$，n=$\frac{1}{3}$．
因此$\frac{98}{101}$不是该数列中的项．
（3）证明：a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=1-$\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}$，
∵9n²-1-（9n-3）=9n²-9n+2=9$（n-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$≥9×1²-9×1+2=2，
∴9n²-1＞9n-3＞0，
∴$0＜\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}＜1$，
∴0＜1-$\frac{9n-3}{9{n}^{2}-1}$＜1．
∴a_n∈（0，1）．
（4）解：令f（x）=$\frac{9{x}^{2}-9x+2}{9{x}^{2}-1}$=1-$\frac{9x-3}{9{x}^{2}-1}$．（x≥1）．
f′（x）=-$\frac{9（9{x}^{2}-1）-（9x-3）×18x}{（9{x}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{9（3x-1）^{2}}{（9{x}^{2}-1）^{2}}$＞0，
因此函数f（x）在x≥1时单调递增．
又f（1）=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$，f（2）=$\frac{4}{7}$，f（3）=$\frac{7}{10}$．
∵$\frac{1}{4}$$＜\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}＜\frac{4}{7}$$＜\frac{2}{3}$，$\frac{7}{10}＞\frac{2}{3}$．
∴在区间（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）内只有数列中的一项，为a₂=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．