题目内容
(本小题共12分)
(普通高中做)
如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,
(I)求证:AC⊥BC1;
(II)求证:AC 1//平面CDB1;
(III)求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.
解:(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴ AC⊥BC1………4分
(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵ D是AB的中点,E是BC1的中点,∴ DE//AC1,
∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴ AC1//平面CDB1;………8分
(III)∵ DE//AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角,
在△CED中,ED=AC 1=,CD=AB=,CE=CB1=2,
∴,
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.………12分
∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴ AC⊥BC1………4分
(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵ D是AB的中点,E是BC1的中点,∴ DE//AC1,
∵ DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴ AC1//平面CDB1;………8分
(III)∵ DE//AC1,∴∠CED为AC1与B1C所成的角,
在△CED中,ED=AC 1=,CD=AB=,CE=CB1=2,
∴,
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.………12分
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