Question

【题目】已知点在同一个球的球面上，，，.若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据几何体的特征，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，可得DQ与面ABC垂直时体积最大，从而求出球的半径，即可求出球的表面积．

根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上，

且，，，由余弦定理可得BC，∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC外接圆直径2r＝AC=6，即r＝3，

且S△ABC×3，

AC的中点即为小圆的圆心设为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，

所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ，

∴DQ＝3，

设球的半径为R，则

在直角△AQO中，OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝32+（3﹣R）2，∴R，

∴球的表面积为，

故答案为．