Question

【题目】如图，已知一个八面体的各条棱长均为，四边形为正方形，给出下列命题：

①不平行的两条棱所在的直线所成的角是或； ②四边形是正方形；

③点到平面的距离为； ④平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

其中正确的命题全部序号为_________________

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

利用八面体的结构特征逐条验证即可.

因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，

所以在四棱锥E﹣ABCD中，相邻两条侧棱所成的角为60°，而像AE与CE所成的角为90°，①正确

因为AE=CE=1，AC=，满足勾股定理的逆定理，所以AE⊥CE，同理AF⊥CF，AE⊥AF，所以四边形AECF是正方形；故②正确；

设点A到平面BCE的距离h，由VE﹣ABCD=2VA﹣BCE，所以，解得h=；所以点A到平面BCE的距离；故③正确；

设平面与平面交线为m，显然m平行BC，

取AD的中点为P，BC的中点为Q，则PE⊥m，QE⊥m

故∠PEQ为平面与平面所成的锐二面角的平面角

易知：PQ=1，PE=QE=，∴cos∠PEQ=，故④正确.

故答案为：①②③④