题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间与极值;
(2)当时,令
,若
在
上有两个零点,求实数
的取值范围;
(3)当时,函数
的图像上所有点都在不等式组
所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.
【答案】(1)详见解析; (2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)代入数据,求导,利用导函数的符号变换确定函数的单调性和极值;(2)代入数据,求导,利用导函数的符号变换确定函数的单调性和极值,再利用极值的符号确定函数的零点;(3)合理构造函数,将不等式恒成立问题转为求函数最值问题,再利用导数求函数的最值.
试题解析:(1),
,(x>0)
,当0<x<3时,
>0,
在(0,3)单调递增;当x>3时,
<0,
在
单调递减;所以函数的单调递增区间是(0,3),单调递减区间是
,所以函数的极大值是
,无极小值.
(2)当时,
,则
.∵
,∴当
时,
.当
时,
;当
时,
.故
在
处取得极大值
.又
,
,
,则
,∴
在
上的最小值是
.
在
上有两个零点的条件是
,解得
,∴实数
的取值范围是
,
(3)由题意得对
恒成立,设
,
,则
,
,求导得
,当
时,若
,则
,所以
在
单调递减,
,
成立,得
;当
时,
,
在
单调递增,所以存在
,使
,则不成立;当
时,
,则
在上单调递减,
单调递增,则存在
,有
,所以不成立,综上得
,即
.
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