Question

16．若一个正四棱柱的底面边长为1cm，高为$\sqrt{2}$cm，且这个四棱柱的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是$\frac{4π}{3}$cm³．

Answer 1

分析 由正四棱柱的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长为2，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．

解答 解：∵正四棱柱的底面边长为1cm，高为$\sqrt{2}$cm，
∴正四棱柱体对角线的长为$\sqrt{1+1+2}$=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为S=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4π}{3}$．
故答案为：$\frac{4π}{3}$．

点评 本题给出球内接正四棱柱的底面边长和高，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．