Question

4．已知函数f（x）=（mx+1）（lnx-3）．
（1）若m=1，求曲线y=f（x）在x=1的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．
（3）设点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））满足lnx₁-lnx₂=3ln（x₁x₂）-8，（x₁≠x₂），判断是否存在点P （m，0），使得以AB为直径的圆恰好过P点，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将m=1代入函数f（x）的表达式，求出函数的导数，从而求出f′（1）和f（1）的值，进而求出函数的切线方程；
（2）先求出函数f（x）的导数，问题转化为mx（lnx-2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=x（lnx-2），通过讨论函数的单调性得到不等式组，解出即可；
（3）先表示出向量$\overrightarrow{PA}$和$\overrightarrow{PB}$的坐标，得到$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（1+m²）（x₁x₂+1）＞0，从而得到答案．

解答 解：（1）m=1时，f（x）=（x+1）（lnx-3），
∴f′（x）=（lnx-3）+（x+1）$\frac{1}{x}$，则f′（1）=-1，f（1）=-6，
所以切线方程为：x+y+5=0；
（2）f′（x）=$\frac{mx（lnx-2）+1}{x}$，
若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
有mx（lnx-2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=x（lnx-2），h′（x）=lnx-1，h（x）在（0，e）是减函数，在（e，+∞）是增函数，
所以h（x）的值域为[-e，+∞），即mt+1≥0在[-e，+∞）上恒成立．
有$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{-em+1≥0}\end{array}\right.$，解得：0≤m≤$\frac{1}{e}$；
（3）依题意得$\overrightarrow{PA}$=（x₁-m，f（x₁）），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-m，f（x₂）），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-m）（x₂-m）+f（x₁）f（x₂）
=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（lnx₁-3）（mx₂+1）（lnx₂-3）
=x₁ x₂-m（x₁+x₂）+m²+[m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1][lnx₁lnx₂-3（lnx₁+lnx₂）+9]
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+[m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1]
=（1+m²）（x₁x₂+1）＞0，
∴不存在实数m，使得∠APB为直角．

点评 本题考查了函数的切线方程，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，平面向量的运算，是一道综合题．