Question

6．设函数f（x）=x|x-a|+a，（a≥0）．
（1）若a=1，求函数f（x）的零点；
（2）若x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1恒成立，求实数a的最大值．|

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）的解析式，再令f（x）=0，求得x的值，即为所求．
（2）作出函数f（x）的图象，利用二次函数的性质、数形结合、分类讨论求得a的范围，可得实数a的最大值．

解答 解：（1）若a=1，函数f（x）=x|x-a|+a=x|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1）+1，x≥1}\\{x（1-x）+1，x＜1}\end{array}\right.$，
令f（x）=0，求得x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，故函数f（x）的零点为$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
（2）若x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1恒成立，则-1≤f（x）≤1．
又 f（x）=x|x-a|+a=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax+a，x＜a}\end{array}\right.$，（a≥0），如图所示：
①当$\frac{a}{2}$≤1，即0≤a≤2时，在[-1，1]上，f（x）的最大值为f（$\frac{a}{2}$）=a+$\frac{1}{4}$a²，最小值f（-1）=-1，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{|f（\frac{a}{2}）|=|a-\frac{{a}^{2}}{4}|≤1}\\{|f（-1）=|-1|≤1}\end{array}\right.$，求得 0≤a≤2．
②当$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2时，在[-1，1]上，f（x）的最大值为f（1）=-1+2a，最小值f（-1）=-1，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{|f（1）|=|-1+2a|≤1}\\{|f（-1）|=|-1|≤1}\end{array}\right.$，求得a∈∅．
综上可得，a的最大值为2．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，函数的零点的求法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．