题目内容
8.已知函数f(x)=$\frac{{e}^{x}}{x{e}^{x}+1}$,当x>0时,不等式f(x)>$\frac{1}{a{x}^{2}+1}$恒成立,求a的取值范围.分析 利用分离常数法,求出a的不等式,构造函数g(x),求出g(x)的取值范围即得a的取值范围
解答 解:当x>0时,不等式f(x)>$\frac{1}{a{x}^{2}+1}$恒成立,
即为当x>0时,x+$\frac{1}{{e}^{x}}$<ax2+1恒成立,
即a>$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$,
设g(x)=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$,其中x>0,
∴g′(x)=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{x+2}{{x}^{3}{e}^{x}}$+$\frac{2}{{x}^{3}}$<0在x>0恒成立,
g(x)在(0,+∞)上是单调减函数;
∴0<g(x)<$\frac{1}{2}$,即a≥$\frac{1}{2}$;
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$,+∞).
点评 本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了利用导数判断函数的单调性,不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题,是综合性题目.
练习册系列答案
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12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+…+f(2012)=( )
A. | 335 | B. | 338 | C. | 1678 | D. | 2012 |
19.下列判断中正确的是( )
A. | 命题“?a∈R,a2+1≥2a”的否定是:“?a∈R,a2+1≤2a” | |
B. | ?m∈R,使函数f(x)=(m-1)xm2-4m+1是幂函数,且在(0,+∞)上递减 | |
C. | 命题“若a+$\frac{1}{a}$=2,则a=1”的逆否命题是假命题 | |
D. | 已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的充要条件 |
3.一个工厂为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:
(1)画出散点图;
(2)推出是正相关还是负相关;
(3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论?
零件数 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
加工时间 | 62 | 68 | 75 | 81 | 89 | 95 | 102 | 108 | 115 | 122 |
(2)推出是正相关还是负相关;
(3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论?