Question

9．已知集合M={f（x）|当x∈[0，4]时，|f（x）|≤2恒成立}
（1）判断函数g（x）=$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}（{x∈[{0，4}]}）$是否属于集合M，说明理由；
（2）已知f（x）=x²+bx+c（c≥2）满足f（x）∈M，求b和c的值；
（3）已知f（x）是定义在区间[-4，4]上的奇函数，f（4）=0且对任何实数x₁，x₂∈[-4，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求证：f（x）∈M．

Answer 1

分析 （1）根据定义求出当x∈[0，4]时，函数g（x）的值域，验证是否满足条件|f（x）|≤2即可．
（2）根据一元二次函数的图象和性质，根据条件当x∈[0，4]时，|f（x）|≤2恒成立，建立方程关系进行求解即可．
（3）根据函数奇偶性的性质求出函数的最值关系，即可得到结论．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
则当x∈[0，4]时，g（x）为增函数，
则g（0）≤g（x）≤g（4），
∵g（0）=0，g（4）=$\frac{{2}^{4}-1}{{2}^{4}+1}=\frac{15}{17}$，
∴0≤g（x）≤$\frac{15}{17}$，满足|g（x）|≤2恒成立，
即g（x）属于集合M．
（2）∵f（x）=x²+bx+c（c≥2），
∴f（0）=c≥2，
∵f（x）∈M，
∴|f（x）|≤2，则，|f（0）|≤2，即c≤2，
∴c=2，
即f（x）=x²+bx+2．
∵f（x）∈M，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2}$≥2，即b≤-4，
若对称轴x=-$\frac{b}{2}$≥4，即b≤-8，
此时只要f（4）=18+4b≥-2，
即4b≥-20，解得b≥5，与b≤-8矛盾，不成立，
若若对称轴x=-$\frac{b}{2}$∈[2，4），
即-8＜b≤-4，
则函数的最小值为f（-$\frac{b}{2}$）=（-$\frac{b}{2}$）²-$\frac{b}{2}$×b+2=2-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
此时应该满足f（-$\frac{b}{2}$）=2-$\frac{{b}^{2}}{4}$≥-2，
即$\frac{{b}^{2}}{4}$≤4，b²≤16，解得-4≤b≤4，
又∵-8＜b≤-4，
∴b=-4，
即b=-4，c=2，
（3）∵f（x）是定义在区间[-4，4]上的奇函数，f（4）=0且对任何实数，x₁，x₂∈[-4，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤2|f（x）|_max，
则当x∈[0，4]时，2|f（x）|_max≤|x₁-x₂|=4，
即|f（x）|_max≤2，
即f（x）∈M．

点评 本题主要考查函数恒成立问题以及抽象函数的应用，涉及指数函数的单调性和值域，一元二次函数的单调性和值域，综合考查函数的性质，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．