题目内容

(本小题满分12分)
为实数,且
(1)求方程的解;
(2)若满足,试写出的等量关系(至少写出两个);
(3)在(2)的基础上,证明在这一关系中存在满足.
(1);(2)
(3)方程存在的根.

试题分析:(1)由得,所以
(2)结合函数图像,由可判断

从而,从而

因为,所以
从而由 
可得
从而
(3)由 


因为,根据零点存在性定理可知,
函数内一定存在零点,
即方程存在的根.
点评:典型题,对数函数是重要函数之一,因此,对对数函数的图象和性质的考查较为多见。本题将对数函数与函数零点问题结合在一起进行考查,体现了考查到灵活性。(2)小题是一道开放性题目,颇具新意。
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