Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．

（1）证明：AC⊥BP；
（2）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD；

∴AC⊥PD；

又AC⊥BD，BD∩PD=D；

∴AC⊥平面PBD，BP平面PBD；

∴AC⊥BP；

（2）

解：设AC∩BD=O，以O为坐标原点，OD，OA为x，y轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则：

O（0，0，0），D（ ，0，0），A（0，1，0），P（ ，0，1）；

∴ ， ， ；

设平面ACP的法向量 ，平面ADP的法向量 ；

由 得， ，取x1=1，则 ；

同理，由 得， ；

∴ ；

∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）根据线面垂直的性质即可得到AC⊥PD，而由条件AC⊥BD，这样根据线面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，进而便可证出AC⊥BP；（2）可设AC与BD交于点O，这样由条件便可分别以OD，OA为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，从而可以求出点O，D，A，P四点的坐标，进而得出向量 的坐标，可设平面ACP的法向量 ，平面ADP的法向量 ，这样根据 便可得出法向量 的坐标，同理便可得出法向量 的坐标，从而便可求出 的值，即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．