Question

【题目】（1）问题发现

如下图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE。

填空：①∠AEB的度数为____________；

②线段AD、BE之间的数量关系是_________。

（2）拓展探究

如下图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

（3）解决问题

如下图，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

Answer 1

【答案】（1）① 60； ② AD=BE（2）见解析；（3）或.

【解析】

(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE.

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,

即∠ACD= ∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM= DM= ME,∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE.

或.

（1）因为，所以，

在和中，

，CD=CE，

所以和全等，

所以AD=BE, ，所以.

（2）(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE.

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,

即∠ACD= ∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM= DM= ME,∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE.

或.

（3）或.