题目内容
【题目】如图1,在中,
,
,
,
分别为
,
的中点.将
沿
折起到
的位置,使
,如图2,连结
,
.
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)若为
中点,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在一点
,使二面角
的余弦值为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)因为,
分别为
,
中点,所以
//
.因为
,所以
.所以
.因为
,所以
.又因为
=
,所以
平面
,由此可以证明平面
平面
;
(Ⅱ)因为,
,
,所以
,
,
两两互相垂直.以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,得出平面
的一个法向量
,
设直线与平面
所成角为
,则
,即得解.
(Ⅲ)假设线段上存在一点
,使二面角
的余弦值为
.设
,
,得出
,
,
.易得平面
的一个法向量为
,求出平面
的一个法向量
,则有
,即
,解得
的值,即得解.
试题解析:
(Ⅰ)证:因为,
分别为
,
中点,所以
//
.
因为,所以
.所以
.
因为,所以
.
又因为
=
,所以
平面
.
又因为平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)解: 因为,
,
,所以
,
,
两两互相垂直.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,
依题意有,
,
,
,
,
.
则,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量
,
则有即
令
得
,
.所以
.
设直线与平面
所成角为
,则
.
故直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)解:假设线段上存在一点
,使二面角
的余弦值为
.
设,
,则
,即
.
所以,
,
.
易得平面的一个法向量为
.
设平面的一个法向量
,
则有 即
令
,则
.
若二面角的余弦值为
,
则有,即img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/09/23/10/f3ee7bee/SYS201809231026007410293450_DA/SYS201809231026007410293450_DA.133.png" width="156" height="69" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,
解得, ,
.又因为
,所以
.
故线段上存在一点
,使二面角
的余弦值为
,且
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)