Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点为F1 ， F2 ， 离心率为 ，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于4 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABF2的周长等于4 ，且F1在边AB上，

∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4 ，

∴2a+2a=4 ，即a= ，

又∵e= ，∴c= ，

∴b= ，

∴椭圆C的标准方程为：

（2）解：依题意，设P（x0，y0），设过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），

记b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：

x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，

令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，

∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，

又∵b=﹣kx0+y0，

∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，

∵△=3y02+x02﹣3＞0，

∴k1k2= ，

又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，

∴k1k2= =﹣1，

∴过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，

∴MN为圆O的直径，

∴当P点为（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为 ×4×2=4

【解析】（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4 ，可知a= ，利用e= ，可知c= ，通过b= 可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0 ， y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．