题目内容
【题目】已知椭圆C： 
（a＞b＞0）的两个焦点为F1 ， F2 ， 离心率为 
，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于4 
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．
【答案】
（1）解：∵△ABF2的周长等于4 
，且F1在边AB上，
∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4 ，
∴2a+2a=4 ，即a= ，
又∵e= 
，∴c= 
，
∴b= 
，
∴椭圆C的标准方程为： 
（2）解：依题意，设P（x0，y0），设过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），
记b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：
x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，
令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，
∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，
又∵b=﹣kx0+y0，
∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，
∵△=3y02+x02﹣3＞0，
∴k1k2= 
，
又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，
∴k1k2= 
=﹣1，
∴过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，
∴MN为圆O的直径，
∴当P点为（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为 
×4×2=4
【解析】（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4 ，可知a= ，利用e= ，可知c= ，通过b= 
可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0 ， y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能得出正确答案．
