题目内容
【题目】已知某条地铁线路通车后,地铁的发车时间间隔为t(单位:分钟),并且.经市场调研测算,地铁载客量与发车时间间隔t相关,当
时,地铁为满载状态,载客量为450人;当
时,载客量会减少,减少的人数与
的平方成正比,且发车时间间隔为2分钟时的载客量为258人,记地铁载客量为
(单位:人).
(1)求的解析式,并求当发车时间间隔为5分钟时,地铁的载客量.
(2)若该线路每分钟的利润为(单位:元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的利润最大?
【答案】(1),载客量为375人,(2)15分钟
【解析】
(1)根据题设设出的表达式,根据
求出
的值,即可得出
的解析式,求出
即可得出发车时间间隔为5分钟时,地铁的载客量;
(2)由的解析式得出
的解析式,利用函数单调性的定义以及反比例函数的性质得出
的单调性,比较两段的最大值,即可得出线路每分钟的利润最大时,发车时间间隔.
(1)由题意知(k为常数).
因为,得
,
所以
所以,即当发车时间间隔为5分钟时,地铁的载客量为375人.
(2)由可得
当时,
,
任取,且
,
则.
因为,所以
,
所以,
所以在
上为增函数,最大值为
.
当时,
,
当时等号成立,所以当发车时间间隔为15分钟时,该线路每分钟的利润最大,最大值为80元.
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