Question

【题目】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.

（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；

（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出 ，利用直角三角形边角关系求出 ，则总长为 ，求出 为减函数，命题得证.（2）设单位成本为 ，则总成本为，，求出，求出，分两区间 讨论的单调性，以证明为极小值点.

试题解析：

（1）由题意，，所以，

又，

所以观光专线的总长度

，，

因为当时，，

所以在上单调递减，

即观光专线的总长度随的增大而减小.

（2）设翻新道路的单位成本为，

则总成本 ，，

，

令，得，因为，所以，

当时，，当时，.

所以，当时，最小.

答：当时，观光专线的修建总成本最低.