题目内容

在等腰梯形ABCD中,ABCDABBCAD=2,CD=4,E为边DC的中点,如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置,连PBPC,点Q是棱AE的中点,点M在棱PC上,如图2.

(1)若PA∥平面MQB,求PMMC
(2)若平面AEP⊥平面ABCE,点MPC的中点,求三棱锥A­MQB的体积.
(1)1∶2(2)
(1)连ACBQ,设ACBQF,连MF.
则平面PAC∩平面MQBMF,因为PA∥平面MQBPA?平面PAC,所以PAMF.(2分)
在等腰梯形ABCD中,E为边DC的中点,所以由题设,ABEC=2.
所以四边形ABCE为平行四边形,则AEBC.(4分)
从而△AFQ∽△CFBAFFCAQCB=1∶2.
PAMF,所以△FMC∽△APC,所以PMMCAFFC=1∶2.(7分)
(2)由(1)知,△AED是边长为2的正三角形,从而PQAE.
因为平面AEP⊥平面ABCE,交线为AE,所以PQ⊥平面ABCEPQQB,且PQ.
因为PQ?平面PQC,所以平面PQC⊥平面ABCE,交线为QC.(9分)
过点MMNQCN,则MN⊥平面ABCE,所以MN是三棱锥M­ABQ的高.
因为PQ⊥平面ABCEMN⊥平面ABCE,所以PQMN.
因为点MPC的中点,所以MNPQ.(11分)
由(1)知,△ABE为正三角形,且边长为2.所以,SABQ.
三棱锥A­MQB的体积VA­MQBVM­ABQ××.(14分)
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