题目内容
【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,∠DAB=90°,AB平行于CD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点
(1)求证:AB⊥面BEF;
(2)设PA=h,若二面角E﹣BD﹣C大于45°,求h的取值范围.
【答案】
(1)证明:以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,
以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(0,0,h),B(1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),
E(1,1, ),F(1,2,0),
=(0,1,
),
=(0,2,0),
=(﹣2,0,0),
∴ =0,
=0,
∴CD⊥BE,CD⊥BF,∴CD⊥面BEF.
∵AB平行于CD,∴AB⊥面BEF
(2)解:设面BCD的法向量为 ,则
(0,0,1),
设面BDE的法向量为 (x,y,z),
∵ =(﹣1,2,0),
=(0,1,
),
∴ ,取x=2,得
=(2,1,﹣
),
∵二面角E﹣BD﹣C大于45°,
∴cos< >=
<cos45°=
,
由h>0,解得h> ,
∴h的取值范围是( ,+∞).
【解析】(1)以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证明AB⊥面BEF.(2)求出面BCD的法向量和面DE的法向量,利用向量法能求出h的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题.
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