题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若函数
与
的图象恰好相切与点
，求实数
的值；
（2）当
时， 
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）求证： 
.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得
,即得实数
的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题
（x>1）最大值,再利用导数研究函数
单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数
的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系： 
，再利用（2）的结论
，令
，则代入放缩得证
试题解析：（1）
所以
（2）方法一：（分参）
即
时， 
， 
时，显然成立；
时，即
令
，则
令
[]
即
在
上单调递减
故
方法二：（先找必要条件）
注意到
时，恰有
令
则
在
恒成立的必要条件为
即
下面证明：当
时， 
令
即
在
递减，
恒成立，即
也是充分条件，故有
.
（3）不妨设
为
前
项和，则
要证原不等式，只需证
而由（2）知：当
时恒有
即
当且仅当
时取等号
取
，则
即
即
即
成立，从而原不等式获证.
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