题目内容
A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
(1)依题意，可设直线方程为y＝k(x－1)＋2
代入x2－＝1，整理得 (2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝
由N(1,2)是AB中点得(x1＋x2)＝1
∴ k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.
(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出 x1＝－1,x2＝3，由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0 ②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
x3＋x4＝－6, x3x4＝－11， 从而 x0＝(x3＋x4)＝－3,y0＝3－x0＝6
|CD|＝＝
∴ |MC|＝|MD|＝|CD|＝2， 又|MA|＝|MB|＝
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.
代入x2－＝1，整理得 (2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝
由N(1,2)是AB中点得(x1＋x2)＝1
∴ k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.
(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出 x1＝－1,x2＝3，由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4
即A、B的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x2＋6x－11＝0 ②
记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以
x3＋x4＝－6, x3x4＝－11， 从而 x0＝(x3＋x4)＝－3,y0＝3－x0＝6
|CD|＝＝
∴ |MC|＝|MD|＝|CD|＝2， 又|MA|＝|MB|＝
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.
略
练习册系列答案
相关题目
的左右焦点分别为
，过
的直线交双曲线右支于
两点，且
，若
是以
为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率等于（ ）
的左、右支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又
＝λ
(λ∈R)，则实数λ的值为( )
为双曲线
的两个焦点，点
在双曲线上且满足
，则
的面积是（ ）
,使得
的面积最大时点P的坐标.
的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且
，则这样的直线有___________条
与双曲线
有且只有一个公共点，但直线与双曲线不相切，则实数
的值是 
的焦点到渐近线的距离为
，则实数k的值是 
＝
，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为 ．