题目内容

20.已知函数f(x)=$\frac{2x+1}{x+1}$.
(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
(3)求使不等式f(x)-2m2+2m>0在x∈[1,4]上恒成立时的m的取值范围.

分析 (1)由变量分离,可得函数f(x)在区间[1,+∞)上递增.注意运用单调性定义证明的几个步骤:作差,变形和定符号、下结论;
(2)由单调性,即可得到最值;
(3)由题意可得2m2-2m<f((x)的最小值,运用(2)的结论,解不等式即可得到所求范围.

解答 解:(1)函数f(x)=$\frac{2x+1}{x+1}$=2-$\frac{1}{x+1}$,
即有函数f(x)在区间[1,+∞)上递增.
理由如下:设1≤m<n,则f(m)-f(n)=2-$\frac{1}{m+1}$-(2-$\frac{1}{n+1}$)
=$\frac{m-n}{(m+1)(n+1)}$,
由1≤m<n,可得m-n<0,(m+1)(n+1)>0,
即有f(m)-f(n)<0,即f(m)<f(n).
故f(x)在区间[1,+∞)上递增;
(2)该函数在区间[1,4]上递增,
即有f(1)取得最小值$\frac{3}{2}$,f(4)取得最大值$\frac{9}{5}$.
(3)不等式f(x)-2m2+2m>0在x∈[1,4]上恒成立,
即为2m2-2m<f((x)的最小值,
由(2)可得f(x)在[1,4]的最小值为$\frac{3}{2}$,
即有2m2-2m<$\frac{3}{2}$,解得-$\frac{1}{2}$<m<$\frac{3}{2}$.
则m的取值范围是(-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).

点评 本题考查函数的单调性的判断和应用:求最值和解不等式,考查化简运算求解的能力,以及参数分离的方法,属于中档题.

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