Question

5．计算：$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$）

Answer 1

分析 求出数列的和，然后求解极限即可．

解答 解：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$
=$1-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$$+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$$+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$
=1$+\frac{1}{2}-$$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$．
$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的极限的应用，裂项消项法求解数列的和，考查计算能力．