题目内容
【题目】若函数对定义域内的每一个值
,在其定义域内都存在唯一的
,使
成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域
上为“依赖函数”,求
的取值范围;
(3)已知函数在定义域
上为“依赖函数”.若存在实数
,使得对任意的
,不等式
都成立,求实数
的最大值.
【答案】(1)不是“依赖函数”;(2)
,(3)
【解析】
(1)取特殊值,得到
,无解,由此证得
不是“依赖函数”.(2)根据
的单调性和函数值为正数,得到
,化简后求得
的关系式,代入
并化简,利用二次函数单调性求得
的取值范围.(3)对
分成
,
,两种情况,根据“依赖函数”的定义,求得
的值.由此化简不等式
,利用判别式和对钩函数的性质,求得实数
的最大值.
解:(1)对于函数的定义域
内存在
,则
,无解.
故不是“依赖函数”;
(2)因为在
递增,故
,即
,
由,故
,得
,
从而在
上单调递增,故
,
(3)①若,故
在
上最小值为0,此时不存在
,舍去;
②若故
在
上单调递减,
从而,解得
(舍)或
.
从而,存在,使得对任意的
,有不等式
都成立,
即恒成立,由
,
得,由
,可得
,
又在
单调递减,故当
时,
,
从而,解得
,
综上,故实数的最大值为
.
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