题目内容
已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上.
(1)求抛物线和椭圆的标准方程;
(2)过点的直线交抛物线于两不同点,交轴于点,已知,则
是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
(1)求抛物线和椭圆的标准方程;
(2)过点的直线交抛物线于两不同点,交轴于点,已知,则
是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
(1) ,;(2)-1.
试题分析:(1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系,求解抛物线方程;根据椭圆的焦点和右定点也在圆上,确定椭圆方程;(2)利用已知的向量关系式进行坐标转化求出,然后通过直线与抛物线方程联立,借助韦达定理进行化简并求值.
试题解析:(1)由抛物线的焦点在圆上得:,,∴抛物线 3分
同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得:.
得椭圆. 6分
(2)是定值,且定值为-1.
设直线的方程为,则.
联立方程组,消去得:
且 , 9分
由得:
整理得:,
. 14分
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