Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，△AF₁F₂为正三角形，且以线段F₁F₂为直径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率e；
（Ⅱ）若点P为焦点F₁关于直线的对称点，动点M满足. 问是否存在一个定点T，使得动点M到定点T的距离为定值？若存在，求出定点T的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一个定点且定值为.

试题分析：（Ⅰ）依题意由线段F₁F₂为直径的圆与直线相切，根据点到直线的距离公式得，可得c值，再由△AF₁F₂为正三角形，得a、b、c间关系，求出a、b的值，即得椭圆方程及离心率；（Ⅱ）假设存在一个定点T符合题意，先求出点关于直线的对称点，由题意得，可知动点M的轨迹，从而得解.
试题解析：解：（Ⅰ）设焦点为，
以线段为直径的圆与直线相切，，即c=2，    1分
又为正三角形，，  4分
椭圆C的方程为，离心率为.        6分
（Ⅱ）假设存在一个定点T符合题意，设动点，由点得
点关于直线的对称点，                     7分
由得，
两边平方整理得，                      10分
即动点M的轨迹是以点为圆心，长为半径的圆，
存在一个定点且定值为.                         12分