Question

18．已知P：2x²-9x+a＜0，q：x²-5x+6＜0，且￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 解不等式可得q：2＜x＜3，由q是p的充分条件可得当x∈（2，3）时，2x²-9x+a＜0恒成立，构造函数f（x）=2x²-9x+a，由其性质可得 $\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$；解之即可．

解答 解：若￢p是￢q的充分条件，
则q是p的充分条件，
由q：x²-5x+6＜0，
得：2＜x＜3，
∵q是p的充分条件，
∴x∈（2，3）时，2x²-9x+a＜0恒成立，
记f（x）=2x²-9x+a，
其图象是一个开口向上的抛物线，对称轴为x=$\frac{9}{4}$，
故只需 $\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{8-18+a≤0}\\{18-27+a≤0}\end{array}\right.$，
解得a≤9，
即a的取值范围是（-∞，9]．

点评 本题以充要条件为载体，考查二次函数的恒成立问题，正确处理二次函数问题是解决问题的关键，属基础题．