Question

10．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+4ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过a_n+1=a_n+4ⁿ可知a_n=a_n-1+4^n-1、a_n-1=a_n-2+4^n-2、…、a₂=a₁+4¹，累加、计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+4ⁿ，
∴a_n=a_n-1+4^n-1，
a_n-1=a_n-2+4^n-2，
…
a₂=a₁+4¹，
累加得：a_n=a₁+4+4²+…+4^n-1
=2+$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$
=$\frac{1}{3}$•4ⁿ+$\frac{2}{3}$，
∵a₁=2满足上式，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•4ⁿ+$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．