题目内容
【题目】已知圆:
.
(1)直线过点
,且与圆
交于
两点,若
,求直线
的方程;
(2)过圆上一动点
作平行于
轴的直线
,设
与
轴的交点为
,若向量
,求动点
的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
【答案】(1)或
;
(2)轨迹是焦点坐标为,长轴长为
的椭圆,并去掉
两点.
【解析】
试题分析:(1)当斜率不存在是,直线方程为,与圆的两个交点坐标为
和
,其距离为
,满足题意.当斜率存在时,用点斜式设出直线方程为
,利用圆的弦长公式有
,和点到直线距离公式,可求得
,故直线为
或
;(2)设点
的坐标为
,
点坐标为
,则
点坐标是
.利用已知
,代入点的坐标化简得
,
.而
,故
的轨迹方程是
(
).
试题解析:
(1)①当直线垂直于轴时,则此时直线方程为
,与圆的两个交点坐标为
和
,其距离为
,满足题意.
②若直线不垂直于轴,设其方程为
,即
.
设圆心到此直线的距离为,则
,得
,∴
,
,
故所求直线方程为.
综上所述,所求直线方程为或
.
(2)设点的坐标为
,
点坐标为
,则
点坐标是
.
∵,∴
,即
,
.
又∵,∴
.
由已知,直线轴,∴
,
∴点的轨迹方程是
(
),
轨迹是焦点坐标为,长轴长为8的椭圆,并去掉
两点.
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