Question

13．已知：x＞0，y＞0，x≠y，且x+y=x²+y²+xy，求证：1＜x+y＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 根据条件便可得到xy=（x+y）²-（x+y），而由基本不等式便可得到$0＜（x+y）^{2}-（x+y）＜（\frac{x+y}{2}）^{2}$，解该关于x+y的不等式即可得出要证的结论．

解答 证：由已知得：x+y=（x+y）²-xy；
即xy=（x+y）²-（x+y）；
∵x＞0，y＞0，x≠y；
∴$0＜xy＜（\frac{x+y}{2}）^{2}$；
即$0＜（x+y）^{2}-（x+y）＜（\frac{x+y}{2}）^{2}$；
∴$0＜（x+y）-1＜\frac{x+y}{4}$；
解得$1＜x+y＜\frac{4}{3}$；
∴结论成立．

点评 考查完全平方式及基本不等式的运用，注意基本不等式中等号“=”成立的条件，学习本题解一元二次不等式的方法．