Question

【题目】如图，矩形中，，，为的中点，点，分别在线段，上运动（其中不与，重合，不与，重合），且，沿将折起，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为______；当三棱锥体积最大时，其外接球的半径______.

Answer 1

【答案】1

【解析】

易知当平面平面时，三棱锥体积最大，此时平面.DN为几何体的高，设，则，且，再由V三棱锥D-MNQ求解，当三棱锥体积最大时，三棱锥是正三棱柱的一部分，则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球，设点，分别是上下底面正三角形的中心，则线段的中点即是三棱柱的外接球的球心求解.

当平面平面时，三棱锥体积最大，

这时平面.

设，则，且，

则V三棱锥D-MNQ，

当时，三棱锥体积最大，且.此时，，

∴，

∴为等边三角形，

∴当三棱锥体积最大时，三棱锥是正三棱柱的一部分，

如图所示：

则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球，

设点，分别是上下底面正三角形的中心，

∴线段的中点即是三棱柱的外接球的球心，

∴，

又∵是边长为2的等边三角形，

∴，

∴三棱柱的外接球的半径.

故答案为：1；.