题目内容
【题目】如图,矩形中,,,为的中点,点,分别在线段,上运动(其中不与,重合,不与,重合),且,沿将折起,得到三棱锥,则三棱锥体积的最大值为______;当三棱锥体积最大时,其外接球的半径______.
【答案】1
【解析】
易知当平面平面时,三棱锥体积最大,此时平面.DN为几何体的高,设,则,且,再由V三棱锥D-MNQ求解,当三棱锥体积最大时,三棱锥是正三棱柱的一部分,则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球,设点,分别是上下底面正三角形的中心,则线段的中点即是三棱柱的外接球的球心求解.
当平面平面时,三棱锥体积最大,
这时平面.
设,则,且,
则V三棱锥D-MNQ,
当时,三棱锥体积最大,且.此时,,
∴,
∴为等边三角形,
∴当三棱锥体积最大时,三棱锥是正三棱柱的一部分,
如图所示:
则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球,
设点,分别是上下底面正三角形的中心,
∴线段的中点即是三棱柱的外接球的球心,
∴,
又∵是边长为2的等边三角形,
∴,
∴三棱柱的外接球的半径.
故答案为:1;.
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