Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点是曲线上的任意一点，当点到直线的距离最大时，求经过点且与直线平行的直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）消去直线的参数即可得到直线的普通方程,利用极坐标和直线坐标互化的公式可得到曲线C的直角坐标方程. （Ⅱ）设直线的方程为，得到当点到直线的距离最大时，为经过圆心与直线垂直的直线与圆的交点，利用点到直线的距离可求出的值.

解：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数），消去即.

因为，，所以极坐标方程化直角坐标方程为：.

（Ⅱ）曲线的方程为，即，圆心，圆心到直线的距离为

点到直线的距离最大时，为过圆心且与直线垂直的直线与圆的交点，此时，点到直线的距离为，

设直线：，则，即（舍）或.

所以直线的方程为.