题目内容

设椭圆C1:+=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.

(1)若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;
(2)设A(0,b),Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B(0,b),且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.
(1)  (2)+=1    x2+2y=4

解:(1)因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),
可得c2=b2,
由a2=b2+c2=2c2,
=,
所以椭圆C1的离心率e=.
(2)由题设可知M,N关于y轴对称,
设M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),
则由△AMN的垂心为B,有·=0.
所以-+(y1-b)(y1-b)=0.①
由于点N(x1,y1)在C2上,
故有+by1=b2.②
由①②得y1=-或y1=b(舍去),
所以x1=b,
故M(-b,-),N(b,-),
所以△QMN的重心坐标为(,).
由重心在C2上得3+=b2,
所以b=2,
M(-,-),N(,-).
又因为M,N在C1上,
所以+=1,
解得a2=.
所以椭圆C1的方程为+=1.
抛物线C2的方程为x2+2y=4.
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