题目内容

请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?
设OO1为xm,
则由题设可得正六棱锥底面边长为(单位:m)
32-(x-1)2
=
8+2x-x2

于是底面正六边形的面积为(单位:m2
32-(x-1)2
=6•
3
4
(
8+2x-x2
)
2
=
3
3
2
(8+2x-x2)

帐篷的体积为(单位:m3V(x)=
3
3
2
(8+2x-x2)[
1
3
(x-1)+1]=
3
2
(16+12x-x3)

求导数,得V′(x)=
3
2
(12-3x2)

令V'(x)=0解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.
当1<x<2时,V'(x)>0,V(x)为增函数;
当2<x<4时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
所以当x=2时,V(x)最大.
答当OO1为2m时,帐篷的体积最大.
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