题目内容
请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
设OO1为xm，
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
=
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）
=6•
•(
)2=
(8+2x-x2)
帐篷的体积为（单位：m3）V(x)=
(8+2x-x2)[
(x-1)+1]=
(16+12x-x3)
求导数，得V′(x)=
(12-3x2)
令V'（x）=0解得x=-2（不合题意，舍去），x=2．
当1＜x＜2时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；
当2＜x＜4时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．
所以当x=2时，V（x）最大．
答当OO1为2m时，帐篷的体积最大．
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
| 32-(x-1)2 |
| 8+2x-x2 |
于是底面正六边形的面积为（单位：m2）
| 32-(x-1)2 |
| ||
| 4 |
| 8+2x-x2 |
3
| ||
| 2 |
帐篷的体积为（单位：m3）V(x)=
3
| ||
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 2 |
求导数，得V′(x)=
| ||
| 2 |
令V'（x）=0解得x=-2（不合题意，舍去），x=2．
当1＜x＜2时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；
当2＜x＜4时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．
所以当x=2时，V（x）最大．
答当OO1为2m时，帐篷的体积最大．
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