Question

【题目】设， ．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程．

（Ⅱ）求函数的单调区间．

（Ⅲ）求的取值范围，使得对任意成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x﹣1（Ⅱ）1（Ⅲ）0＜a＜e

【解析】

（Ⅰ）求函数的导函数，根据导数定义求得为斜率k，再根据点坐标求得切线方程。

（Ⅱ）根据导函数正负判断函数单调区间。

（Ⅲ）由不等式，化为关于a的不等式，利用函数关系求得a的取值范围。

（Ⅰ）∵f（x）=lnx，

∴f′（x）=，f′（1）=，f（1）=0，

∴f（x）=lnx在点（1，f（1））的切线方程为y﹣0=（x﹣1），

即y=x﹣1；

（Ⅱ）g（x）=f（x）+f′（x）=lnx+的定义域为（0，+∞），

g′（x）=﹣=，

故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；

故gmin（x）=g（1）=0+1=1；

（Ⅲ）g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立可化为g（a）﹣＜g（x）对任意x＞0成立，

故g（a）﹣＜1；

即lna+﹣＜1，

故lna＜1，

故0＜a＜e．