题目内容
【题目】设, .
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程.
(Ⅱ)求函数的单调区间.
(Ⅲ)求的取值范围,使得对任意成立.
【答案】(Ⅰ)y=x﹣1(Ⅱ)1(Ⅲ)0<a<e
【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,根据导数定义求得为斜率k,再根据点坐标求得切线方程。
(Ⅱ)根据导函数正负判断函数单调区间。
(Ⅲ)由不等式,化为关于a的不等式,利用函数关系求得a的取值范围。
(Ⅰ)∵f(x)=lnx,
∴f′(x)=,f′(1)=,f(1)=0,
∴f(x)=lnx在点(1,f(1))的切线方程为y﹣0=(x﹣1),
即y=x﹣1;
(Ⅱ)g(x)=f(x)+f′(x)=lnx+的定义域为(0,+∞),
g′(x)=﹣=,
故g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
故gmin(x)=g(1)=0+1=1;
(Ⅲ)g(a)﹣g(x)<对任意x>0成立可化为g(a)﹣<g(x)对任意x>0成立,
故g(a)﹣<1;
即lna+﹣<1,
故lna<1,
故0<a<e.