Question

【题目】已知函数f（x）= ，a，b∈R，a≠0，b≠0，f（1）= ，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解；
（1）求a、b的值；
（2）当x∈（ ， ]时，不等式（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，且f（1）= ；

∴ ，即a+b=2；

又 只有一个实数解；

∴x 有且仅有一个实数解为0；

∴b=1，a=1；

∴f（x）=

（2）解：∵x∈（ ， ]；

∴x+1＞0；

∴（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立（1+m）x＞m2﹣1；

当m+1＞0时，即m＞﹣1时，有m﹣1＜x恒成立m＜x+1m＜（x+1）min

∴﹣1＜m≤ ；

当m+1＜0，即m＜﹣1时，同理可得m＞（x+1）max= ；

∴此时m不存在．

综上：m∈（﹣1， ]

【解析】（1）根据题意，直接带入f（1），同时考虑f（x）=x有且仅有一个实数解，故可求出a．b值；（2）当x∈（ ， ]时，不等式（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立，即可转化为：（x+1）f（x）＞m（m﹣x）﹣1恒成立（1+m）x＞m2﹣1；