Question

18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm²，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm．
（1）怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
（2）如果左栏矩形ABCD要满足$\frac{AB}{BC}$≥k（k是常数，且k＞1），怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小．

Answer 1

分析 （1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则依题意可知ab=9000，代入广告的面积中，根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽；
（2）由（1）可得S=18500+25a+$\frac{360000}{a}$，由$\frac{AB}{BC}$≥k，即$\frac{a}{b}$≥k（k＞1），求得a的范围，确定为减区间，即可得到何时取得最小值．

解答 解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000．①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．
广告的面积S=（a+20）（2b+25）
=2ab+40b+25a+500
=18500+25a+40b≥18500+2$\sqrt{25a•40b}$
=18500+2$\sqrt{1000ab}$．
当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=$\frac{5}{8}$a，
代入①式得a=120，从而b=75．
即当a=120，b=75时，S取得最小值24500．
故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小；
（2）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000．①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．
广告的面积S=（a+20）（2b+25）
=2ab+40b+25a+500
=18500+25a+40b=18500+25a+$\frac{360000}{a}$，
由$\frac{AB}{BC}$≥k，即$\frac{a}{b}$≥k（k＞1），
可得b≥ka，即有$\frac{9000}{a}$≥ka，
解得a≤30$\sqrt{\frac{10}{k}}$，由于k＞1，则30$\sqrt{\frac{10}{k}}$＜30$\sqrt{10}$＜120，
即有25a+$\frac{360000}{a}$在（0，30$\sqrt{\frac{10}{k}}$]递减，
则当a=30$\sqrt{\frac{10}{k}}$，b=300$\sqrt{\frac{k}{10}}$，S取得最小值．
故广告的高为30$\sqrt{\frac{10}{k}}$+20cm，宽为600$\sqrt{\frac{k}{10}}$+25cm时，可使广告的面积最小．

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．