Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，${a}_{n+1}=\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}}$，n∈N^*，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过${a}_{n+1}=\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}}$可知2${{a}_{n+1}}^{2}$=a_n，对等式两边同时取对数、整理可得1+log₂a_n+1=$\frac{1}{2}$（1+log₂a_n），进而数列{1+log₂a_n}是以2为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵${a}_{n+1}=\sqrt{\frac{{a}_{n}}{2}}$，
∴2${{a}_{n+1}}^{2}$=a_n，
∴log₂（2${{a}_{n+1}}^{2}$）=log₂2+log₂${{a}_{n+1}}^{2}$=log₂a_n，
整理得：1+2log₂a_n+1=log₂a_n，
∴1+log₂a_n+1=$\frac{1}{2}$（1+log₂a_n），
又∵1+log₂a₁=1+log₂2=2，
∴数列{1+log₂a_n}是以2为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴1+log₂a_n=2•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴log₂（2a_n）=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，
∴2a_n=${2}^{\frac{1}{{2}^{n-2}}}$=${2}^{{2}^{2-n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}$•${2}^{{2}^{2-n}}$=${2}^{{2}^{2-n}-1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．